Question

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞2x的解集为（-1，3）．
（Ⅰ）若方程f（x）=-7a有两个相等的实数根，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数g（x）=xf（x）在区间(-∞，

a

3

)内单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依据不等式f（x）＞2x的解集为（-1，3），可设函数f（x）-2x的解析式为（x）-2x=a（x+1）（x-3），得出f（x）的解析式．再利用f（x）=-7a有两个相等的实数根，通过△求出a的值最后代入f（x）即可．
（2）根据若函数g（x）区间(-∞，

a

3

)内单调递减，通过导函数g′（x）＜0，求a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）-2x＞0的解集为（-1，3），
∴可设f（x）-2x=a（x+1）（x-3），且a＜0，
因而f（x）=a（x+1）（x-3）+2x=ax²+2（1-a）x-3a①
由f（x）+7a=0得ax²+2（1-a）x+4a=0②
∵方程②有两个相等的根，
∴△=4（1-a）²-16a²=0，
即3a²+2a-1=0解得a=-1或a=

1

3

由于a＜0，a=

1

3

（舍去），将a=-1代入①得f（x）的解析式f（x）=-x²+4x+3．
（2）g（x）=xf（x）=ax³+2（1-a）x²-3ax，
∵g（x）在区间(-∞，

a

3

)内单调递减，
∴g′（x）=3ax²+4（1-a）x-3a在(-∞，

a

3

)上的函数值非正，
由于a＜0，对称轴x=

2(a-1)

3a

＞0，
故g（x）≤g/(

a

3

)=

a3

3

+

4

3

a(1-a)-3a≤0
注意到a＜0，∴a²+4（1-a）-9≥0，
得a≤-1或a≥5（舍去）
故所求a的取值范围是（-∞，-1]．

点评：本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式．步骤一般是首先确定所求问题含待定系数的解析式．其次根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程．最后解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．