题目内容

(2012•江苏)如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-
(1+k
2)x
2(k>0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
(1)求炮的最大射程;
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.
分析:(1)求炮的最大射程即求 y=kx-
(1+k
2)x
2(k>0)与x轴的横坐标,求出后应用基本不等式求解.
(2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式求解.
解答:解:(1)在 y=kx-
(1+k
2)x
2(k>0)中,令y=0,得 kx-
(1+k
2)x
2=0.
由实际意义和题设条件知x>0,k>0.
∴
x==≤=10,当且仅当k=1时取等号.
∴炮的最大射程是10千米.
(2)∵a>0,∴炮弹可以击中目标等价于存在 k>0,使ka-
(1+k
2)a
2=3.2成立,
即关于 的方程a
2k
2-20ak+a
2+64=0有正根.
由△=400a
2-4a
2(a
2+64)≥0得a≤6.
此时,k=
>0.
∴当a不超过6千米时,炮弹可以击中目标.
点评:本题考查函数模型的运用,考查基本不等式的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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