题目内容

【题目】如图线段AB过x轴正半轴上一定点M(m,0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A,O,B三点作抛物线.
(1)求抛物线方程;
(2)若 =﹣1,求m的值.

【答案】
(1)解:可设抛物线方程为y2=2px(p>0),

设直线AB的方程为y=k(x﹣m)(k≠0)

联立这两个方程组消去x得,ky2﹣2py﹣2pkm=0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),

由已知得|y1||y2|=2m,注意到y1y2<0,∴y1y2=﹣2m,

又y1y2=﹣2pm,∴﹣2m=﹣2pm,∵m>0,∴p=1.

∴抛物线方程为y2=2x


(2)解:设A(x1,y1),B(x2,y2),

=(x1,y1), =(x2,y2).

=x1x2+y1y2=+y1y2=m2﹣2m.

=﹣1,

∴m2﹣2m=﹣1,解得m=1


【解析】(1)设抛物线方程为y2=2px(p>0),设直线AB的方程为y=k(x﹣m)(k≠0),联立这两个方程组,得ky2﹣2py﹣2pkm=0,由此利用韦达定理结合已知条件能求出抛物线方程.(2)设A(x1 , y1),B(x2 , y2),则 =x1x2+y1y2=+y1y2=m2﹣2m,由此能求出m.

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