Question

10．四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的三视图如图所示，E、F分别为A₁B₁、CC₁的中点．
（1）求证：EF∥平面A₁BC；
（2）求D₁到平面A₁BC的距离．

Answer 1

分析 （1）取A₁B的中点G，连接CG，EG，证明四边形EGCF是平行四边形，可得EF∥CG，即可证明：EF∥平面A₁BC；
（2）由等体积可求D₁到平面A₁BC的距离．

解答 （1）证明：取A₁B的中点G，连接CG，EG，则
∵E、F分别为A₁B₁、CC₁的中点，
∴EG平行且等于CF，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∴EF∥CG，
∵EF?平面A₁BC，CG?平面A₁BC，
∴EF∥平面A₁BC；
（2）解：由三视图可得四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A=C₁D₁=2，A₁B₁=1，A₁D₁=1
取C₁D₁的中点O，连接OC，OA₁，则A₁，B，C，O共面，
△A₁BO中，OB=A₁B=$\sqrt{5}$，A₁O=$\sqrt{2}$，∴${S}_{△{A}_{1}BO}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{5-\frac{1}{2}}$=$\frac{3}{2}$
设D₁到平面A₁BC的距离为h，则由等体积可得$\frac{1}{3}•\frac{3}{2}•h=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•1•1•1$，
∴h=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查D₁到平面A₁BC的距离，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．