设函数f(x)=xm+ax的导函数f′(x)=2x+1.则数列{$\frac{1}{f(n)}$}(n∈N*)的前n项和是$\frac{n}{n+1}$．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

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题目内容

4．设函数f（x）=x^m+ax的导函数f′（x）=2x+1，则数列{

$\frac{1}{f（n）}$ }（n∈N^*）的前n项和是

$\frac{n}{n+1}$ ．

分析求函数的导数，求出m，a，利用裂项法进行求和．

解答解：函数的f（x）的导数f′（x）=mx^m-1+a，
∵f′（x）=2x+1，
∴m=2，a=1，
即f（x）=x²+x，
则 $\frac{1}{f（n）}$ = $\frac{1}{{n}^{2}+n}=\frac{1}{n（n+1）}$ = $\frac{1}{n}$ - $\frac{1}{n+1}$ ，
则数列{ $\frac{1}{f（n）}$ }（n∈N^*）的前n项和S=1 $-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+$ $\frac{1}{n}$ - $\frac{1}{n+1}$ =1- $\frac{1}{n+1}$ = $\frac{n}{n+1}$ ，
故答案为： $\frac{n}{n+1}$

点评本题主要考查数列求和，根据导数公式求出函数f（x）的解析式，利用裂项法是解决本题的关键．

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男生	6
女生		18
总计			60

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k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

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