Question

如图,在三棱柱中，侧棱底面,为的中点,,.

（1）求证：平面；
(2) 求四棱锥的体积.

Answer 1

（1）证明见解析    (2)四棱锥的体积为.

(1)证明线面平行利用判定定理关键是证线线平行，本题可以证OD//AB₁即可.
（2）由于侧棱底面,所以平面ACC₁A₁平面ABC，过B作BE垂直AC于E点，则BE垂直平面ACC₁A₁从而解决了解本题的关键求四棱锥的高
（1）证明:连接,设与相交于点,连接,

∵ 四边形是平行四边形, ∴点为的中点.∵为的中点，
∴为△的中位线,∴ .         …… 3分
∵平面,平面,∴平面.…… 6分
(2)∵平面,平面,
∴ 平面平面，且平面平面.
作，垂足为，则平面，                …… 8分
∵，，
在Rt△中，，      …… 10分
∴四棱锥的体积
.
∴四棱锥的体积为.