题目内容
【题目】(本小题满分12分)
已知数列的前
项和
,且
.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)令,是否存在
,使得
、
、
成等比数列.若存在,求出所有符合条件的
值;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)不存在.
【解析】
试题分析:(1)给出与
的关系,求
,常用思路:一是利用
转化为
的递推关系,再求其通项公式;二是转化为
的递推关系,先求出
与
的关系,再求
;由
推
时,别漏掉
这种情况,大部分学生好遗忘;(2)与数列有关的探索问题:第一步:假设符合条件的结论存在;第二步:从假设出发,利用题中关系求解;第三步,确定符合要求的结论存在或不存在;第四步:给出明确结果;第五步:反思回顾,查看关键点.
试题解析:解法1:当时,
, 1分
即. 3分
所以数列是首项为
的常数列. 4分
所以.
所以数列的通项公式为
. 6分
解法2:当时,
, 1分
即. 3分
. 4分
因为,符合
的表达式. 5分
所以数列的通项公式为
. 6分
(Ⅱ)假设存在,使得
,
,
,成等比数列,
即. 7分
因为,
所以 10分
. 11分
这与矛盾.
故不存在,使得
成等比数列. 12分
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