题目内容
【题目】如图，在三棱柱
中， 
为边长为2的等边三角形，平面
平面
，四边形
为菱形， 
， 
与
相交于点
.
（1）求证： 
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）根据菱形的性质可得
，根据平面
平面
，可得
平面
，∴
；（2）以
为原点，以
所在直线分别为
轴， 
轴， 
轴建立空间直角坐标系，分别根据向量垂直数量积为零列方程组，求出平面
与平面
的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得二面角
的余弦值.
试题解析：（1）已知侧面
是菱形， 
是
的中点，
∵
，∴
因为平面
平面
，且
平面
，
平面
平面
，
∴
平面
，∴
（2）如图，以
为原点，以
所在直线分别为
轴， 
轴， 
轴建立空间直角坐标系，
由已知可得
， 
， 
， 
∴
， 
， 
， 
， 
设平面
的一个法向量
， 
， 
由
， 
，得
，可得
因为平面
平面
， 
，
∴
平面
所以平面
的一个法向量是
∴
即二面角
的余弦值是
.
【方法点晴】本题主要考查面面垂直的性质定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
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