题目内容
(本小题满分13分)
已知直线,圆.
(Ⅰ)证明:对任意,直线恒过一定点N,且直线与圆C恒有两个公共点;
(Ⅱ)设以CN为直径的圆为圆D(D为CN中点),求证圆D的方程为:
(Ⅲ)设直线与圆的交于A、B两点,与圆D:交于点(异于C、N),当变化时,求证为AB的中点.
【答案】
(Ⅰ)∵N在圆C内,∴直线与圆C恒有两个公共点.
(Ⅱ)轨迹的方程为.
【解析】
试题分析:(1)利用圆心到直线的距离小于半径,判定,直线l与圆C总有两个不同交点A、B;
(2)求解CN的中点坐标和CN的长度的一半得到圆心和半径进而求解圆的方程。
(3)利用圆的方程以及交点问题得到求证。
(Ⅰ)方法1:联立方程组
消去,得
∴直线与圆恒有两个公共点………………………………………………6分
方法2:将圆化成标准方程为
由可得:.
解得,所以直线过定点N(1,-1)
∵N在圆C内,∴直线与圆C恒有两个公共点.…………………………6分
(Ⅱ)设CN的中点为D,由于°,
∴
∴M点的轨迹为以CN为直径的圆.
CN中点D的坐标为(,0),.
∴轨迹的方程为.……………………13分
考点:本题主要考查了直线与圆的位置关系的运用。
点评:解决该试题的关键是对于圆的方程的求解的常用方法的运用,以及通过圆心到直线的距离判定线圆的位置关系的运用。
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