Question

（2007•盐城一模）已知“接龙等差”数列a₁，a₂，…，a₁₀，a₁₁，…，a₂₀，a₂₁，…，a₃₀，a₃₁，…构成如下：a₁=1，a₁，a₂，…，a₁₀是公差为1的等差数列；a₁₀，a₁₁，…，a₂₀是公差为d的等差数列；a₂₀，a₂₁，…，a₃₀是公差为d²的等差数列；…；a_10n，a_10n+1，a_10n+2，…，a_10n+10是公差为dⁿ的等差数列（n∈N^*）；其中d≠0．
（1）若a₂₀=80，求d；
（2）设b_n=a_10n．求b_n；
（3）当d＞-1时，证明对所有奇数n总有b_n＞5．

Answer 1

分析：（1）由a₁，a₂，…，a₁₀是首项为1，公差为1的等差数列得a₁₀=10，由a₁₀，a₁₁，…，a₂₀是公差为d的等差数列和a₂₀=80，能求出d．
（2）由题意有a₂₀=a₁₀+10d，a₃₀=a₂₀+10d²，a₄₀=a₃₀+10d³，…a_10n=a_10（n-1）+10d^n-1，由此能求出b_n．
（3）设n为奇数，当d∈（0，+∞）时b_n=10+10d+10d²+…+10d^n-1＞10，由此能求出当n为奇数且d＞-1时，恒有b_n＞5．

解答：解：（1）由a₁，a₂，…，a₁₀是首项为1，
公差为1的等差数列，得a₁₀=10，
由a₁₀，a₁₁，…，a₂₀是公差为d的等差数列，
得a₂₀=a₁₀+10d=10+10d=80，
解得d=7．　　　　　…（4分）
（2）由题意有a₂₀=a₁₀+10d，
a₃₀=a₂₀+10d²，
a₄₀=a₃₀+10d³，
…
a_10n=a_10（n-1）+10d^n-1
累加得a_10n=a₁₀+10d+10d²+…+10d^n-1
=10+10d+10d²+…+10d^n-1…（8分）
所以b_n=10+10d+10d²+…+10d^n-1
=

10(1-dn) 1-d (d≠1) 10n  &(d=1)

．…（10分）
（3）设n为奇数，
当d∈（0，+∞）时，
b_n=10+10d+10d²+…+10d^n-1＞10…（13分）
当d∈（-1，0）时，
bn=

10(1-dn)

1-d

，
由1＜1-d＜2及1-dⁿ＞1，
有bn=

10(1-dn)

1-d

＞

10

2

=5
综上所述，当n为奇数且d＞-1时，
恒有b_n＞5．　　　　　　　　…（16分）

点评：本题考查等差数列的公差的求法和通项公式的求法，考查运算能力和转化化归思想．解题时要认真申题，仔细解答，注意计算能力的培养．