题目内容

【题目】如图,已知椭圆的右准线的方程为焦距为.

1求椭圆的方程;

2过定点作直线与椭圆交于点(异于椭圆的左、右顶点)两点,设直线与直线相交于点.

,试求点的坐标;

求证:点始终在一条直线上.

【答案】(1)点的坐标为 的坐标为(2)见解析.

【解析】试题分析:(1)由椭圆的离心率公式和a,b,c的关系,解方程可得a,b,进而得到椭圆方程;(2)①求得直线MA1的方程和以MA2的方程,代入椭圆方程,求得交点P,Q的坐标;②设点M(x0,y0),求得直线MA1的方程和以MA2的方程,代入椭圆方程,求得交点P,Q的坐标,结合P,Q,B三点共线,所以kPB=kQB,化简整理,可得.分别考虑,即可得到点M始终在一条定直线x=4上.

试题解析:

⑴由 所以椭圆的方程为

⑵①因为 ,所以的方程为,代入

,即

因为,所以,则,所以点的坐标为

同理可得点的坐标为

②设点,由题意, 因为 所以直线的方程为,代入,得

,因为

所以,则,故点的坐标为

同理可得点的坐标为

因为 三点共线,所以

所以,即

由题意, ,所以

所以,则.若,则点在椭圆上, 为同一点,不合题意.故,即点始终在定直线.

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