题目内容
【题目】如图,已知椭圆的右准线
的方程为
,焦距为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过定点作直线
与椭圆
交于点
(异于椭圆
的左、右顶点
)两点,设直线
与直线
相交于点
.
①若,试求点
的坐标;
②求证:点始终在一条直线上.
【答案】(1)点的坐标为
,
的坐标为
(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)由椭圆的离心率公式和a,b,c的关系,解方程可得a,b,进而得到椭圆方程;(2)①求得直线MA1的方程和以MA2的方程,代入椭圆方程,求得交点P,Q的坐标;②设点M(x0,y0),求得直线MA1的方程和以MA2的方程,代入椭圆方程,求得交点P,Q的坐标,结合P,Q,B三点共线,所以kPB=kQB,化简整理,可得或
.分别考虑,即可得到点M始终在一条定直线x=4上.
试题解析:
⑴由得
所以椭圆
的方程为
.
⑵①因为,
,
,所以
的方程为
,代入
,
,即
,
因为,所以
,则
,所以点
的坐标为
.
同理可得点的坐标为
.
②设点,由题意,
.因为
,
, 所以直线
的方程为
,代入
,得
,
即,因为
,
所以,则
,故点
的坐标为
.
同理可得点的坐标为
.
因为,
,
三点共线,所以
,
.
所以,即
,
由题意, ,所以
.
即.
所以,则
或
.若
,则点
在椭圆上,
,
,
为同一点,不合题意.故
,即点
始终在定直线
上.
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