Question

【题目】已知函数f（x）=x2+2x|x﹣a|，其中a∈R．
（1）当a=﹣1时，在所给坐标系中作出f（x）的图象；
（2）对任意x∈[1，2]，函数g（x）=﹣x+14的图象恒在函数f（x）图象的上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=﹣1时，作出函数f（x）=x2+2x|x﹣a|=x2+2x|x+1|= 的图象，

如图所示：

（2）解：由题意，对任意x∈[1，2]，f（x）＜g（x），

即f（x）+x＜14恒成立，

只需[f（x）+x）]max＜14．

另一方面，f（x）= ．

当a≥0时，f（x）在（﹣∞，a）和（a，+∞）上均递增，∵f（a）=a2，则f（x）在R上递增，

当a＜0时，f（x）在（﹣∞，a）和（ ，+∞）上递增，在（a， ）上递减，

故f（x）在x∈[1，2]上恒单调递增，从而y=f（x）+x在x∈[1，2]上也恒单调递增，

则[f（x）+x]max=f（2）+2=4+4|2﹣a|+2＜14，即|2﹣a|＜2，解得0＜a＜4，

故实数a的取值范围是（0，4）

【解析】（1）当a=﹣1时，作出函数f（x）=x2+2x|x+1|= 的图象．（Ⅱ）由题意，对任意x∈[1，2]，只需[f（x）+x]max＜14．分类讨论求得[f（x）+x]max ， 可得实数a的取值范围．