题目内容
【题目】已知函数为实常数.
(1)设,当
时,求函数
的单调区间;
(2)当时,直线
、
与函数
的图象一共有四个不同的交点,且以此四点为顶点的四边形恰为平行四边形.求证:
.
【答案】(1)的单调递增区间为
,无单调递减区间. (2)见解析
【解析】试题分析:(1)(1)求出F(x)的定义域,求得导数,判断符号,即可得到所求单调区间;
(2)由题意可得该四边形为平行四边形等价于f(m)-g(m)=f(n)-g(n)且m>0,n>0.当a=-e时,F(x)=f(x)g(x)=(x>0)求出导数,求得单调性,确定0<m<1<n,或0<n<1<m,即可得证.
试题解析:
(1),其定义域为
,
而,
当时,
,
故的单调递增区间为
,无单调递减区间.
(2)证明:因为直线与
平行,
故该四边形为平行四边形等价于且
.
当时,
,
则,令
,
则,故
在
上单调递增;
而,故
时
,
单调递减;
时
,
单调递增;而
,
故或
,所以
.
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