Question

【题目】已知函数为实常数.

（1）设，当时，求函数的单调区间；

（2）当时，直线、与函数的图象一共有四个不同的交点，且以此四点为顶点的四边形恰为平行四边形.求证： .

Answer 1

【答案】（1）的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）见解析

【解析】试题分析：（1）（1）求出F（x）的定义域，求得导数，判断符号，即可得到所求单调区间；
（2）由题意可得该四边形为平行四边形等价于f（m）-g（m）=f（n）-g（n）且m＞0，n＞0．当a=-e时，F(x)＝f(x)g(x)＝（x>0）求出导数，求得单调性，确定0＜m＜1＜n，或0＜n＜1＜m，即可得证．

试题解析：

（1），其定义域为，

而，

当时， ，

故的单调递增区间为，无单调递减区间.

（2）证明：因为直线与平行，

故该四边形为平行四边形等价于且.

当时， ，

则，令，

则，故在上单调递增；

而，故时， 单调递减；

时， 单调递增；而，

故或，所以.