题目内容
如图，四棱锥
的底面
是正方形，
平面，
为
上的点，且
.
（1）证明：
；
（2）若
，求二面角
的余弦值.
（1）详见解析；（2）二面角的余弦值为
.
解析试题分析：（1）要证，先证
平面
，则要证明
垂直于平面内的两条相交直线，先由正方形的对角线互相垂直得到
，再由
平面，得到
，结合直线与平面垂直的判定定理得到平面，从而得到；（2）以
为原点，
、
、
所在的直线为
、
、
轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的余弦值.
试题解析：（1）∵平面，∴
，
∵底面是正方形，∴
，∴平面，
∵
平面，∴.
（2）以为原点，、、所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系．
设
，则
，
，因为，
易知
，
，
,
，
，
所以
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
，
，
即
，令
，得
，同理可取平面
的法向量
，
所以
，所以二面角的余弦值为.
考点：1.直线与平面垂直；2.利用空间向量法求二面角
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中，
,点
分别是
的中点，点
在
上，沿
平面
.
最小时，求证：
;
时，求二面角
平面角的余弦值.
，E为DC的中点，将它沿AE折成直二面角D-AE-B.
BC，∠ABC＝60°，N是BC的中点，将梯形ABCD绕AB旋转90°，得到梯形ABC′D′(如图)．
中，
，
，
是
中点.
平面
；
与平面
中，
是正三角形，四边形
是矩形，且平面
平面
，
．
是
的中点，求证：
平面
；
在线段
上什么位置时，二面角
的余弦值为
.
；
所成角的正弦值。
边长都为2，且
，
的中点，
。（2分）
的距离。（5分）