题目内容

如图,直角梯形中,,点分别是的中点,点上,沿将梯形翻折,使平面平面.

(1)当最小时,求证:;
(2)当时,求二面角平面角的余弦值.

(1)参考解析;(2)

解析试题分析:(1)因为当最小时,及连结AC与EF的交点即为G点,通过三角形的相似可得到EG的长度.需要证明直线与直线垂直,根据题意建立空间直角坐标系,即可得到相关各点的坐标,从而写出相关向量,即可判断直线的垂直关系.

(2)由题意所给的体积关系可确定点G的位置,求二面角关键是转化为两平面的法向量的夹角,由于平面BCG的法向量易得,关键是求出平面DGB的法向量.通过待定系数法即可求得,还需判断二面角与法向量夹角的大小关系.解法二用到的推理论证的数学思想很重要.
试题解析:(1)证明:∵点分别是的中点,∴EF//BC  
又∠ABC=90°∴AE⊥EF,∵平面AEFD⊥平面EBCF,
∴AE⊥平面EBCF,AE⊥EF,AE⊥BE, 又BE⊥EF,
如图建立空间坐标系E﹣xyz.

翻折前,连结AC交EF于点G,此时点G使得AG+GC最小.
EG=BC=2,又∵EA=EB=2.
则A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0), D(0,2,2),E(0,0,0),G(0,2,0),
=(﹣2,2,2),=(-2,-2,0)
=(﹣2,2,2)(-2,-2,0)=0,

(2)解法一:设EG=k,
∥平面,点D到平面EFCB的距离为即为点A到平面EFCB的距离.

[(3- k)+4]×2=7-k
=
=,
,=,
即EG=1
设平面DBG的法向量为,∵G(0,1,0),
(-2,2,2),
,即             
取x=1,则y=2,z=-1,∴
面BCG的一个法向量为
则cos<>=  由于所求二面角D-BF-C的平面角为锐角,
所以此二面角平面角的余弦值为 
(2)解法二:由解法一得EG=1,过点D作DHEF,垂足H,过点H作BG延长线的垂线垂足O,连接OD.

∵平面AEFD⊥平面EBCF, DH平面EBCF,ODOB,所以就是所求的二面角的平面角.由于HG=1,在OHG中,
又DH=2,在DOH中
所以此二面角平面角的余弦值为
考点:1.图形的翻折问题.2.线面垂直的判定.3.二面角的求法.4.空间坐标系中的运算.5.空间想象能力.

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