Question

设函数f(x)=log2(

1+x

1-ax

)（a∈R），若f(-

1

3

)=-1．
（1）求f（x）解析式并判断其奇偶性；
（2）当x∈[-1，0）时，求f（3^x）的值域；
（3）g(x)=log

2

1+x

k

，若x∈[

1

2

，

2

3

]时，f（x）≤g（x）有解，求实数k取值集合．

Answer 1

分析：（1）由f(-

1

3

)=-1求得a的值，可得f（x）的解析式，求得它的定义域关于原点对称，且满足f（-x）=-f（x），可得f（x）为奇函数．
（2）由f（x）的解析式求得f（3^x）的解析式，再利用不等式的性质求得它的值域．
（3）由条件可得

1+x

1-x

≤(

1+x

k

)2，根据

1

2

≤x≤

2

3

，可得x+1＞0．根据 h（x）=1-x² 在[

1

2

，

3

2

]上是减函数，求得h（x）的最大值，可得k²≤

3

4

．又由g（x）定义域知k＞0，从而求得k的范围．

解答：解：（1）由于f(-

1

3

)=log2

1- 1 3

1+ a 3

=-1，∴

2 3

1+ a 3

=

1

2

，即

4

3

=1+

a

3

，解得a=1，
∴f(x)=log2

1+x

1-x

．
再由

1+x

1-x

＞0，求得-1＜x＜1
，∴定义域为（-1，1），定义域关于原点对称．
再根据f(-x)=log2

1-x

1+x

=log2(

1+x

1-x

)-1=-log2

1+x

1-x

=-f（x）
∴f（x）为奇函数．-----（3分）
（2）f（x）=log2(-1-

2

x-1

)，∴f(3x)=log2(-1-

2

3x-1

)．
∵-1≤x＜0，∴-

2

3

≤3^x-1＜0，∴

2

3x-1

≤-3，即-

2

3x-1

≥3，
∴-1-

2

3x-1

≥2，∴log2(-1-

2

3x-1

)≥log22=1，
∴值域为[1，+∞）．-----（7分）
（3）∵log2

1+x

1-x

≤log

2

1+x

k

=2log2

1+x

k

=log2(

1+x

k

)2，∴

1+x

1-x

≤(

1+x

k

)2．
∵

1

2

≤x≤

2

3

，∴x+1＞0．-------（9分）
令 h（x）=1-x²，显然h（x）在[

1

2

，

3

2

]上是减函数，∴h(x)max=h(

1

2

)=

3

4

，
∴只需k²≤

3

4

．又由g（x）定义域知k＞0，∴0＜k≤

3

2

，即k的范围为 （0，

3

2

）．-----（13分）

点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断，用待定系数法求函数的解析式，求函数的值域，属于中档题．