题目内容

已知{an}是公差d大于零的等差数列,对某个确定的正整数k,有a12+ak+12≤M(M是常数).
(1)若数列{an}的各项均为正整数,a1=2,当k=3时,M=100,写出所有这样数列的前4项;
(2)若数列{an}的各项均为整数,对给定的常数d,当数列由已知条件被唯一确定时,证明a1≤0;
(3)求S=ak+1+ak+2+…+a2k+1的最大值及此时数列{an}的通项公式.
【答案】分析:(1)根据当k=3时,M=100,d是正整数,建立关系式,即可求出d的值,从而求出数列的前4项;
(2)由题意得2a12+2kda1+(kd)2-M≤0(*),令f(a1)=2a21+2kda1+(kd)2-M,因为d,k均是正数,所以对称轴,开口向上,从而确定a1的范围;
(3)设ak+1=x,则S=(k+1)x+,转化成关于x的二次函数求最值,从而求出此时数列{an}的通项公式.
解答:解:(1)因为d是正整数,由22+(2+3d)2≤100得,d=1或2.…(2分)
所求的数列为2,3,4,5或2,4,6,8.…(4分)
(2)由题意得2a12+2kda1+(kd)2-M≤0(*).…(5分)
令f(a1)=2a21+2kda1+(kd)2-M,
因为d,k均是正数,所以对称轴,开口向上,…(6分)
①当(kd)2-M>0时,若(*)有整数解,则必有a1<0.…(8分)
②当(kd)2-M≤0时,若(*)只有一个整数解,则必有a1=0.…(10分)
(3)设ak+1=x,则S=(k+1)x+,所以kd=…(12分)
M≥,…(13分)
故M≥,即S≤,…(14分)
当S=时,x=,d=,…(15分)
此时,所以S的最大值为.…(16分)
,所以,…(17分)
此时.…(18分)
点评:本题主要考查了数列与函数的综合运用,同时考查了利用二次函数求最值,属于中档题.
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