题目内容
(2008•宝山区二模)已知{an}是公差d大于零的等差数列,对某个确定的正整数k,有a12+ak+12≤M(M是常数).
(1)若数列{an}的各项均为正整数,a1=2,当k=3时,M=100,写出所有这样数列的前4项;
(2)若数列{an}的各项均为整数,对给定的常数d,当数列由已知条件被唯一确定时,证明a1≤0;
(3)求S=ak+1+ak+2+…+a2k+1的最大值及此时数列{an}的通项公式.
(1)若数列{an}的各项均为正整数,a1=2,当k=3时,M=100,写出所有这样数列的前4项;
(2)若数列{an}的各项均为整数,对给定的常数d,当数列由已知条件被唯一确定时,证明a1≤0;
(3)求S=ak+1+ak+2+…+a2k+1的最大值及此时数列{an}的通项公式.
分析:(1)根据当k=3时,M=100,d是正整数,建立关系式,即可求出d的值,从而求出数列的前4项;
(2)由题意得2a12+2kda1+(kd)2-M≤0(*),令f(a1)=2a21+2kda1+(kd)2-M,因为d,k均是正数,所以对称轴a1=-
<0,开口向上,从而确定a1的范围;
(3)设ak+1=x,则S=(k+1)x+
d,转化成关于x的二次函数求最值,从而求出此时数列{an}的通项公式.
(2)由题意得2a12+2kda1+(kd)2-M≤0(*),令f(a1)=2a21+2kda1+(kd)2-M,因为d,k均是正数,所以对称轴a1=-
kd |
2 |
(3)设ak+1=x,则S=(k+1)x+
k(k+1) |
2 |
解答:解:(1)因为d是正整数,由22+(2+3d)2≤100得,d=1或2.…(2分)
所求的数列为2,3,4,5或2,4,6,8.…(4分)
(2)由题意得2a12+2kda1+(kd)2-M≤0(*).…(5分)
令f(a1)=2a21+2kda1+(kd)2-M,
因为d,k均是正数,所以对称轴a1=-
<0,开口向上,…(6分)
①当(kd)2-M>0时,若(*)有整数解,则必有a1<0.…(8分)
②当(kd)2-M≤0时,若(*)只有一个整数解,则必有a1=0.…(10分)
(3)设ak+1=x,则S=(k+1)x+
d,所以kd=
-2x…(12分)
M≥(x-kd)2+x2=10(x-
)2+
(
)2,…(13分)
故M≥
(
)2,即S≤
,…(14分)
当S=
时,x=3
,d=
,…(15分)
此时
+
=
+
=M,所以S的最大值为
.…(16分)
由ak+1=a1 +kd=3
,所以a1=-
,…(17分)
此时an=
.…(18分)
所求的数列为2,3,4,5或2,4,6,8.…(4分)
(2)由题意得2a12+2kda1+(kd)2-M≤0(*).…(5分)
令f(a1)=2a21+2kda1+(kd)2-M,
因为d,k均是正数,所以对称轴a1=-
kd |
2 |
①当(kd)2-M>0时,若(*)有整数解,则必有a1<0.…(8分)
②当(kd)2-M≤0时,若(*)只有一个整数解,则必有a1=0.…(10分)
(3)设ak+1=x,则S=(k+1)x+
k(k+1) |
2 |
2S |
k+1 |
M≥(x-kd)2+x2=10(x-
3S |
5(k+1) |
2 |
5 |
S |
k+1 |
故M≥
2 |
5 |
S |
k+1 |
k+1 |
2 |
10M |
当S=
k+1 |
2 |
10M |
|
4 |
k |
|
此时
a | 2 1 |
a | 2 k+1 |
M |
10 |
9M |
10 |
(k+1)
| ||
2 |
由ak+1=a1 +kd=3
|
|
此时an=
4n-4-k |
k |
|
点评:本题主要考查了数列与函数的综合运用,同时考查了利用二次函数求最值,属于中档题.
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