Question

已知{a_n}是公差d大于零的等差数列，对某个确定的正整数k，有a₁²+a_k+1²≤M（M是常数）．
（1）若数列{a_n}的各项均为正整数，a₁=2，当k=3时，M=100，写出所有这样数列的前4项；
（2）当k=5，M=100时，对给定的首项，若由已知条件该数列被唯一确定，求数列{a_n}的通项公式；
（3）记S_k=a₁+a₂+…+a_k，对于确定的常数d，当S_k取到最大值时，求数列{a_n}的首项．

Answer 1

分析：（1）利用a₁²+a_k+1²≤M，结合a₁=2，当k=3时，M=100，可求d的值，从而可以写出所有这样数列的前4项；
（2）由题意，关于kd的不等式（kd）²+2a₁•kd+2a₁²-100≤0的解集是单元素集，从而可求其首项与公差，进一步可得数列{a_n}的通项公式；
（3）Sk=ka1+

k(k-1)

2

d，所以kd=

2Sk

k-1

-

2k

k-1

a1，利用a₁²+a_k+1²≤M，化简可得M(k-1)2≥

2(k-1)2Sk2

k2+1

，从而有Sk≤

M(k2+1) 2

，当且仅当a1=

k+1

k2+1

Sk时，
S_k取到最大值，故问题得解．

解答：解：（1）因为d是正整数，由2²+（2+3d）²≤100得，d=1或2．…（2分）
所求的数列为2，3，4，5或2，4，6，8．…（4分），故问题得解．
（2）由题意，关于kd的不等式（kd）²+2a₁•kd+2a₁²-100≤0的解集是单元素集，…（5分）
所以△=（2a₁）²-4（2a₁²-100）=0，解得a₁=±10．…（7分）
因为kd＞0，所以a₁＜0，即a₁=-10，5d=-10，d=-2，所以a_n=2n-12．…（10分）
（3）Sk=ka1+

k(k-1)

2

d，所以kd=

2Sk

k-1

-

2k

k-1

a1…（11分）M≥(a1+kd)2+a12=(

k+1

k-1

a1-

2Sk

k-1

)2+a12，…（12分）
化简得M(k-1)2≥2(k2+1)a12-4Sk(k+1)a1+4Sk2=2(k2+1)[a1-

(k+1)Sk

k2+1

]2+

2(k-1)2Sk2

k2+1

…（14分）
当a1=

k+1

k2+1

Sk时，M(k-1)2≥

2(k-1)2Sk2

k2+1

，即Sk≤

M(k2+1) 2

…（15分）
所以当S_k取到最大值时有a1=

(k+1)Sk

k2+1

，…（16分）
即(k2+1)a1=(k+1)[ka1+

k(k-1)

2

d]，解得a1=-

1

2

k(k+1)d．…（18分）

点评：本题主要考查数列与汗水的结合，考查学生分析问题、解决问题的能力，有一定的难度．