题目内容

【题目】已知椭圆的中心和抛物线的顶点都在坐标原点 有公共焦点,点轴正半轴上,且的长轴长、短轴长及点到直线的距离成等比数列。

(Ⅰ)当的准线与直线的距离为时,求的方程;

(Ⅱ)设过点且斜率为的直线 两点,交 两点。当时,求的值。

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)

【解析】试题分析】(1)依据题设条件“的长轴长、短轴长及点到直线的距离成等比数列”建立方程求得,从而求出的右准线方程为,然后借助题设“的准线与直线的距离为”建立方程求出,求出的方程;(2)先建立直线的方程 ,后与椭圆方程联立,借助已知求出的值,再与曲线的方程联立求出的值:

解:(Ⅰ)设 ,其半焦距为 .则

   由条件知,得

   的右准线方程为,即

   的准线方程为

   由条件知, 所以,故

   从而

(Ⅱ)由题设知 ,设

   由(Ⅰ)知,即

, 知满足

从而   

由条件,得, 故

,所以

于是

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