题目内容
【题目】已知椭圆的中心和抛物线的顶点都在坐标原点, 和有公共焦点,点在轴正半轴上,且的长轴长、短轴长及点到直线的距离成等比数列。
(Ⅰ)当的准线与直线的距离为时,求及的方程;
(Ⅱ)设过点且斜率为的直线交于, 两点,交于, 两点。当时,求的值。
【答案】(Ⅰ): , : (Ⅱ)
【解析】【试题分析】(1)依据题设条件“的长轴长、短轴长及点到直线的距离成等比数列”建立方程求得,从而求出的右准线方程为,然后借助题设“的准线与直线的距离为”建立方程求出,求出及的方程;(2)先建立直线的方程: ,后与椭圆方程联立,借助已知求出的值,再与曲线的方程联立求出的值:
解:(Ⅰ)设: ,其半焦距为 .则: .
由条件知,得.
的右准线方程为,即.
的准线方程为.
由条件知, 所以,故, .
从而: , : .
(Ⅱ)由题设知: ,设, , , .
由, 知满足 ,
从而
由条件,得, 故: .
由 得,所以
于是
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