题目内容
【题目】已知球内接正四棱锥的高为
相交于
,球的表面积为
,若
为
中点.
(1)求异面直线和
所成角的余弦值;
(2)求点到平面
的距离.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1) 由球的表面积求出球的半径R,设球心为,则
必在
上,连
,根据球的性质有
,求解易得底面边长以及侧棱长,则结论易得;(2)证明
平面
,则
到平面
的距离等于
到平面
的距离,由
,则结论易得.
试题解析:由球的表面积公式,得球的半径
,
设球心为,在正四棱锥
中,高为
,则
必在
上,
连,则
,
则在,有
,即
,可得正方形
的边长为
,
侧棱.
(1)在正方形中,
,所
以是异面直线
和
所成的角或其补角,
取中点
,在等腰
中,可得
,斜高
,
则在中,
,
所以异面直线和
所成的角的余弦值为
;
(2)由为
中点,得
,
且满足平面
平面
,所以
平面
,
所以到平面
的距离等于
到平面
的距离,
又因为,
再设到平面
的距离为
,则由
,
可得,则
,
所以点到平面
的距离
.
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