Question

【题目】将圆周上的所有点进行三染色。证明：存在无穷多个等腰三角形，其顶点均为圆周上的同色点。

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

先证明一个引理.

引理 对一个正十三边形的顶点进行三染色，则必有一个三顶点同色的等腰三角形.

证明 反证法.

假设存在一种染色方法，使得在正十三边形中不存在同色等腰三角形.

由抽屉原理，知至少有五个点同色.

下面考虑这五个点的分布情形.

1 若这五个点中任意两点不相邻，设这五个中相邻两点所间隔的边数依次为a、b、c、d、e，则a+b+c+d+e=13，且a、b、c、d、e≥2.

故至少有两个值为2，其余三个要么均为3 ，要么还存在第三个值为2，即a、b、c、d、e中存在三个数相等.这三条线段有六个端点，而同色点只有五个.因此，至少有两条线段有公共顶点，则构成了等腰三角形，与假设矛盾.

2 若这五个点中存在相邻的点，不妨设为.据假设，知不存在同色等腰三角形.从而，排除点.如图.

若点也染了该色，则排除点，在剩下的点中任选两个染色，均与假设矛盾.故点染了其他颜色.由对称性，知点也染了其他颜色.

若点染了该色，则排除点，在剩下的点中任选两个染色，均与假设矛盾.故点染了其他颜色.由对称性，知点也染了其他颜色.

在剩下的点中任选三个染色，均与假设矛盾.

因此，假设不成立.

引理得证.

由于圆周上的点可以构成无穷多个正十三边形，据引理，知存在无穷多个同色等腰三角形.

又由于只有三种颜色，则存在无穷多个等腰三角形，其顶点均为圆周上的同色点.

证明 记△DEF的外接圆、△BHC的外接圆分别为.

因为B、F、H、D四点共圆，所以，PB·PH=PD·PF.

于是，点P在圆与的根轴上.

类似地，由C、E、H、D四点共圆，知点Q 在圆与的根轴上.

由于点S在圆与的根轴PQ上，故点S在圆上.

以H为反演中心，-HA·HD为反演幂作反演变换，则

.

由于M为EF与圆的交点，S为圆与的交点，从而，.

因此，M、H、S三点共线.