题目内容

对任意x∈R,函数f(x)满足f(x+1)= ,设an=[f(n)]2-f(n),数列{an}的前15项的和为,则f(15)=    .
因为f(x+1)=+,
所以f(x+1)-=≥0,
即f(x+1)≥.
两边平方得[f(x+1)-]2=f(x)-[f(x)]2,
即[f(x+1)]2-f(x+1)+=f(x)-[f(x)]2,
即[f(x+1)]2-f(x+1)+[f(x)]2-f(x)=-,
即an+1+an=-,
即数列{an}的任意相邻两项之和为-,
所以S15=7×(-)+a15=-,即a15=-.
所以a15=[f(15)]2-f(15)=-,
解得f(15)=或f(15)=(舍去).
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