题目内容
对任意x∈R,函数f(x)满足f(x+1)=
+
,设an=[f(n)]2-f(n),数列{an}的前15项的和为
,则f(15)= .




因为f(x+1)=
+
,
所以f(x+1)-
=
≥0,
即f(x+1)≥
.
两边平方得[f(x+1)-
]2=f(x)-[f(x)]2,
即[f(x+1)]2-f(x+1)+
=f(x)-[f(x)]2,
即[f(x+1)]2-f(x+1)+[f(x)]2-f(x)=-
,
即an+1+an=-
,
即数列{an}的任意相邻两项之和为-
,
所以S15=7×(-
)+a15=-
,即a15=-
.
所以a15=[f(15)]2-f(15)=-
,
解得f(15)=
或f(15)=
(舍去).


所以f(x+1)-


即f(x+1)≥

两边平方得[f(x+1)-

即[f(x+1)]2-f(x+1)+

即[f(x+1)]2-f(x+1)+[f(x)]2-f(x)=-

即an+1+an=-

即数列{an}的任意相邻两项之和为-

所以S15=7×(-



所以a15=[f(15)]2-f(15)=-

解得f(15)=



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