题目内容
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)满足下列条件:
①当x∈R时,函数的最小值为0,且f(-1+x)=f(-1-x)成立;
②当x∈(0,5)时,都有x≤f(x)≤2|x-1|+1恒成立.求:
(1)f(1)的值;
(2)函数f(x)的解析式;
(3)求最大的实数m(m>1),使得存在t∈R,只要当x∈[1,m]时,就有f(x+t)≤x成立.
①当x∈R时,函数的最小值为0,且f(-1+x)=f(-1-x)成立;
②当x∈(0,5)时,都有x≤f(x)≤2|x-1|+1恒成立.求:
(1)f(1)的值;
(2)函数f(x)的解析式;
(3)求最大的实数m(m>1),使得存在t∈R,只要当x∈[1,m]时,就有f(x+t)≤x成立.
分析:(1)由当x∈(0,5)时,都有x≤f(x)≤2|x-1|+1恒成立可得f(1)=1;
(2)由f(-1+x)=f(-1-x)可得二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)的对称轴为x=-1,于是b=2a,再由f(x)min=f(-1)=0,可得c=a,从而可求得函数f(x)的解析式;
(3)可由f(1+t)≤1,求得:-4≤t≤0,再利用平移的知识求得最大的实数m.
(2)由f(-1+x)=f(-1-x)可得二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)的对称轴为x=-1,于是b=2a,再由f(x)min=f(-1)=0,可得c=a,从而可求得函数f(x)的解析式;
(3)可由f(1+t)≤1,求得:-4≤t≤0,再利用平移的知识求得最大的实数m.
解答:解:(1)∵x∈(0,5)时,都有x≤f(x)≤2|x-1|+1恒成立,
∴1≤f(1)≤2|1-1|+1=1,
∴f(1)=1;
(2)∵f(-1+x)=f(-1-x),
∴f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)的对称轴为x=-1,
∴-
=-1,b=2a.
∵当x∈R时,函数的最小值为0,
∴a>0,f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)的对称轴为x=-1,
∴f(x)min=f(-1)=0,
∴a=c.
∴f(x)=ax2+2ax+a.又f(1)=1,
∴a=c=
,b=
.
∴f(x)=
x2+
x+
=
(x+1)2.
(3)∵当x∈[1,m]时,就有f(x+t)≤x成立,
∴f(1+t)≤1,即
(1+t+1)2≤1,解得:-4≤t≤0.
而y=f(x+t)=f[x-(-t)]是函数y=f(x)向右平移(-t)个单位得到的,
显然,f(x)向右平移的越多,直线y=x与二次曲线y=f(x+t)的右交点的横坐标越大,
∴当t=-4,-t=4时直线y=x与二次曲线y=f(x+t)的右交点的横坐标最大.
∴
(m+1-4)2≤m,
∴1≤m≤9,
∴mmax=9.
∴1≤f(1)≤2|1-1|+1=1,
∴f(1)=1;
(2)∵f(-1+x)=f(-1-x),
∴f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)的对称轴为x=-1,
∴-
b |
2a |
∵当x∈R时,函数的最小值为0,
∴a>0,f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)的对称轴为x=-1,
∴f(x)min=f(-1)=0,
∴a=c.
∴f(x)=ax2+2ax+a.又f(1)=1,
∴a=c=
1 |
4 |
1 |
2 |
∴f(x)=
1 |
4 |
1 |
2 |
1 |
4 |
1 |
4 |
(3)∵当x∈[1,m]时,就有f(x+t)≤x成立,
∴f(1+t)≤1,即
1 |
4 |
而y=f(x+t)=f[x-(-t)]是函数y=f(x)向右平移(-t)个单位得到的,
显然,f(x)向右平移的越多,直线y=x与二次曲线y=f(x+t)的右交点的横坐标越大,
∴当t=-4,-t=4时直线y=x与二次曲线y=f(x+t)的右交点的横坐标最大.
∴
1 |
4 |
∴1≤m≤9,
∴mmax=9.
点评:本题考查二次函数的性质,难点在于(3)中m的确定,着重考查二次函数的性质与函数图象的平移,属于难题.
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