Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求证：当时，函数在上存在唯一的零点；

（Ⅱ）当时，若存在，使得成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).

【解析】分析：(Ⅰ)f求导得，，由，所以，则函数在单调递增，计算f，，即可证明结论．
（Ⅱ）由（Ⅰ），，，

当时，，在单调递增，

当时，，在单调递减，当时，在时取最大值，最大值为.，“存在，使得成立”等价于“时，”，即可得出．

详解：

（Ⅰ）函数，定义域为，，

由，所以，则函数在单调递增，

又，，

函数在上单调递增，

所以函数在上存在唯一的零点.

（Ⅱ）由（Ⅰ），，，

当时，，在单调递增，

当时，，在单调递减，

则在时取最大值，且最大值为.

“存在，使得成立”等价于“时，”，所以，即，

令，，则在单调递增，且，

所以当时，，当时，，

即的取值范围为.