题目内容
【题目】如图,在棱长为的正方体
中,点
是棱
的中点,点
在棱
上,且满足
.
(1)求证:;
(2)在棱上确定一点
,使
、
、
、
四点共面,并求此时
的长;
(3)求平面与平面
所成二面角的余弦值.
【答案】(1)详见解析;(2);(3)
.
【解析】
试题本题有两种方法,第一种是传统方法:(1)连接,先由正方体的性质得到
,以及
平面
,从而得到
,利用直线与平面垂直的判定定理可以得到
平面
,于是得到
;(2)假设四点
、
、
、
四点共面,利用平面与平面平行的性质定理得到
,
,于是得到四边形
为平行四边形,从而得到
的长度,再结合勾股定理得到
的长度,最终得到
的长度;(3)先延长
、
交于点
,连接
,找出由平面
与平面
所形成的二面角的棱
,借助
平面
,从点
在平面
内作
,连接
,利用三垂线法得到
为平面
与平面
所形成的二面角的的平面角,然后在直角
中计算
的余弦值;
第二种方法是空间向量法:(1)以点为坐标原点,
、
、
所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系,确定
与
的坐标,利用
来证明
,进而证明
;(2)先利用平面与平面平行的性质定理得到
,然后利用空间向量共线求出点
的坐标,进而求出
的长度;(3)先求出平面
和平面
的法向量,结合图形得到由平面
和平面
所形成的二面角为锐角,最后再利用两个平面的法向量的夹角来进行计算.
试题解析:(1)如下图所示,连接,
由于为正方体,所以四边形
为正方形,所以
,
且平面
,
,
,
平面
,
平面
,
;
(2)如下图所示,假设、
、
、
四点共面,则
、
、
、
四点确定平面
,
由于为正方体,所以平面
平面
,
平面
平面
,平面
平面
,
由平面与平面平行的判定定理得,
同理可得,因此四边形
为平行四边形,
,
在中,
,
,
,
由勾股定理得,
在直角梯形中,下底
,直角腰
,斜腰
,
由勾股定理可得,
结合图形可知,解得
;
(3)延长、
,设
,连接
,则
是平面
与平面
的交线,
过点作
,垂足为点
,连接
,
因为,
,所以
平面
,
因为平面
,所以
,
所以为平面
与平面
所成二面角的平面角,
因为,即
,因此
,
在中,
,
,
所以,
即,
因为,
所以,
所以,
所以,故平面
与平面
所成二面角的余弦值为
.
空间向量法:
(1)证明:以点为坐标原点,
、
、
所在直线分别为
轴、
轴、
轴,建立如下图所示的空间直角坐标系,则
、
、
、
、
,
所以,
,因为
,
所以,所以
;
(2)设,因为平面
平面
,
平面平面
,平面
平面
,所以
,
所以存在实数,使得
,
因为,
,所以
,
所以,
,所以
,
故当时,
、
、
、
四点共面;
(3)由(1)知,
,
设是平面
的法向量,
则,即
,
取,则
,
,所以
是平面
的一个法向量,
而是平面
的一个法向量,
设平面与平面
所成的二面角为
,
则,
故平面与平面
所成二面角的余弦值为
;
第(1)、(2)问用推理论证法,第(3)问用空间向量法,
(1)、(2)给分同推理论证法.
(3)以点为坐标原点,
、
、
所在直线分别为
轴、
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某市为了缓解城市交通压力,大力发展公共交通,提倡多坐公交少开车,为了调查市民乘公交车的候车情况,交通主管部门从在某站台等车的名候车乘客中随机抽取
人,按照他们的候车时间(单位:分钟)作为样本分成
组,如下表所示:
组别 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 |
候车时间 | ||||||
人数 |
(1)估计这名乘客中候车时间少于
分钟的人数;
(2)若从上表第四、五组的人中随机抽取
人做进一步的问卷调查,求抽到的
人恰好来自不同组的概率.