题目内容
已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点
在
轴上,抛物线上的点
到
的距离为2,且
的横坐标为1.直线
与抛物线交于
,
两点.
(1)求抛物线的方程;
(2)当直线,
的倾斜角之和为
时,证明直线
过定点.
(1);(2)直线
恒过定点
,证明详见解析.
解析试题分析:(1)设抛物线方程为,由抛物线的定义及
即可求得
的值;(2)先设点
,
,然后将直线方程与抛物线方程联立消去
得
,根据二次方程根与系数的关系表示出
,设直线
,
的倾斜角分别为
,斜率分别为
,则
,进而根据正切的两角和公式可知
,其中
,
,代入
求得
和
的关系式,此时使
有解的
有无数组,把直线方程整理得
,推断出直线
过定点
.
试题解析:(1)设抛物线方程为
由抛物线的定义知,又
2分
所以,所以抛物线的方程为
4分
(2)设,
联立,整理得
(依题意
)
,
6分
设直线,
的倾斜角分别为
,斜率分别为
,则
8分
其中,
,代入上式整理得
所以即
10分
直线的方程为
,整理得
所以直线过定点
12分.
考点:1.抛物线的定义与方程;2.直线与抛物线的综合问题;3.二次方程根与系数的关系.
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