题目内容
如图，椭圆
与椭圆
中心在原点，焦点均在
轴上，且离心率相同．椭圆的长轴长为
，且椭圆的左准线
被椭圆截得的线段
长为
，已知点
是椭圆上的一个动点．
⑴求椭圆与椭圆的方程；
⑵设点
为椭圆的左顶点，点
为椭圆的下顶点，若直线
刚好平分
，求点的坐标；
⑶若点
在椭圆上，点
满足
，则直线
与直线
的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
（1）
,（2）
，（3）
.
解析试题分析：（1）求椭圆方程，基本方法是待定系数法.关键是找全所需条件. 椭圆中
三个未知数的确定只需两个独立条件，根据椭圆的长轴长为得
，又由椭圆的左准线得
，所以
，
，
，就可得到椭圆的标准方程；由椭圆与椭圆离心率相同，得
再由椭圆过点
，代入可得椭圆（2）涉及弦中点问题,一般用“点差法”构造等量关系.本题较简单,可直接求出中点坐标,再利用直线与椭圆联立方程组求交点坐标;（3）求定值问题,一是确定定值,这可利用特殊情况給于确定,二是参数选择,不仅要揭示问题本质,更要易于消元,特别是整体消元.本题研究的是直线与直线的斜率之积,即它们坐标满足
为定值,参数选为点的坐标,利用点的坐标满足
进行整体消元.
试题解析：⑴设椭圆方程为
，椭圆方程为
，
则
，∴，又其左准线
，∴，则
∴椭圆方程为，其离心率为
， 3分
∴椭圆中
，由线段的长为，得,代入椭圆
，
得
，∴
，椭圆方程为； 6分
⑵
，则中点为
，∴直线为
， 7分
由
，得
或
，
∴点的坐标为； 10分
⑶设
，
，则
，
，
由题意
，∴
12分
∴
14分
∴
练习册系列答案
相关题目
＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
＝2
，求直线AB的方程．
＝1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线l：x－y＋
＝0与以原点为圆心， 以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．
.
，斜率为1的直线不经过原点
，而且与椭圆相交于
两点，
为线段
的中点.
与
之间满足的关系式；若不能，说明理由；
的中点，且
点在椭圆上.若
，求
，焦点
在
轴上，抛物线上的点
到
与抛物线交于
，
两点.
，
的倾斜角之和为
时，证明直线
过定点.
的离心率为
，直线
与圆
相切.
的方程；
与椭圆
，求弦长
.
，点
在直线
：
上运动，过点
的垂直平分线相交于点
．
的方程；
作两条直线分别与轨迹
，
两点．试探究：当直线
，
的斜率存在且倾斜角互补时，直线
的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
的极坐标方程为
，曲线
的极坐标方程为
，曲线
、
两点.（
）
（
为参数）分别相交于
两点，求线段
的长度.
的椭圆
一个焦点为
.
的方程；
交椭圆
两点,且
，求直线