题目内容
【题目】已知数列{an}满足a1=1，an+1=1﹣ 
，其中n∈N* ．
（Ⅰ）设bn= 
，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式an；
（Ⅱ）设Cn= 
，数列{CnCn+2}的前n项和为Tn ， 是否存在正整数m，使得Tn＜ 
对于n∈N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】证明：（Ⅰ）∵bn+1﹣bn= 
= 
= 
=2，
∴数列{bn}是公差为2的等差数列，
又 
=2，∴bn=2+（n﹣1）×2=2n．
∴2n= 
，解得 
．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得 
，
∴cncn+2= 
= 
，
∴数列{CnCn+2}的前n项和为Tn= 
=2 
＜3．
要使得Tn＜ 
对于n∈N*恒成立，只要 
，即 
，
解得m≥3或m≤﹣4，
而m＞0，故最小值为3
【解析】（Ⅰ）利用递推公式即可得出bn+1﹣bn为一个常数，从而证明数列{bn}是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得到bn ， 进而得到an；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，利用“裂项求和”即可得到Tn ， 要使得Tn＜ 对于n∈N*恒成立，只要 ，即 ，解出即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的通项公式的相关知识，掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．
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