题目内容
【题目】已知a，b∈（0，+∞），且2a4b=2． （Ⅰ）求 
的最小值；
（Ⅱ）若存在a，b∈（0，+∞），使得不等式 
成立，求实数x的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）由2a4b=2可知a+2b=1， 又因为 
，
由a，b∈（0，+∞）可知 
，
当且仅当a=2b时取等，所以 
的最小值为8．
（Ⅱ）由题意可知即解不等式|x﹣1|+|2x﹣3|≥8，
① 
，∴ 
．
② 
，∴x∈，
③ 
，∴x≥4．
综上， 
【解析】（Ⅰ）由2a4b=2可知a+2b=1，利用“1”的代换，即可求 
的最小值；（Ⅱ）分类讨论，解不等式，即可求实数x的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解基本不等式的相关知识，掌握基本不等式：
,（当且仅当
时取到等号）；变形公式：
．
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