Question

附加题 选做题在A、B、C、D四小题中只能选做两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选做题（几何证明选讲）
如图，从圆O外一点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，AB与OP交于点M，设CD为过点M且不过圆心O的一条弦，
求证：O、C、P、D四点共圆．

Answer 1

分析：先根据PA，PB为圆O的两条切线，得到OP垂直平分弦AB，进而得到OM•MP=AM²；再结合相交弦定理即可得到AM•BM=CM•DM，二者相结合得到三角形相似，进而即可得到O、C、P、D四点共圆．

解答：证明：因为PA，PB为圆O的两条切线，所以OP垂直平分弦AB，
在Rt△OAP中，OM•MP=AM²，…4分
在圆O中，AM•BM=CM•DM，
所以，OM•MP=CM•DM，…8分
∵∠OMC=∠DMP
⇒△OCM∽△DMP⇒∠DPM=∠OCM．
所以O，C，P，D四点共圆．                …10分

点评：本题主要考查与圆有关的比例线段、相交弦定理的应用及切线性质的应用．是对基础知识的考查．本题证明四点共圆用到了课本习题的结论：如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同一侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．