Question

【题目】已知A是抛物线y2=4x上的一点，以点A和点B（2，0）为直径的圆C交直线x=1于M，N两点．直线l与AB平行，且直线l交抛物线于P，Q两点． （Ⅰ）求线段MN的长；
（Ⅱ）若 =﹣3，且直线PQ与圆C相交所得弦长与|MN|相等，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设A（ ，y0），则C的方程为（x﹣2）（x﹣ +y（y﹣y0）=0， 令x=1，得y2﹣y0y+ ﹣1=0，
∴|MN|=|y1﹣y2|= =2；
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+n，代入抛物线方程得y2﹣4my﹣4n=0，
∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4n
∵ =﹣3，
∴x1x2+y1y2= +y1y2=﹣3，
∴n2﹣4n+3=0，
∴n=1或3，此时B（2，0）到直线l的距离d= ．
由题意，圆心C到直线l的距离等于到直线x=1的距离，
∴ = ．
∵m= ，
∴ =64，
∴ =8，
∴m=0，
∴直线l的方程为x=3，
综上，直线l的方程为x=1或x=3．
【解析】（Ⅰ）C的方程为（x﹣2）（x﹣ +y（y﹣y0）=0，令x=1，得y2﹣y0y+ ﹣1=0，利用韦达定理及弦长公式求线段MN的长；（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+n，代入抛物线方程，利用 =﹣3，求出n，直线PQ与圆C相交所得弦长与|MN|相等，求出m，即可求直线l的方程．