Question

20、（Ⅰ）求y=4^x-2^x+1的值域；
（Ⅱ）关于x的方程4^x-2^x+1+a=0有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求y=4^x-2^x+1的值域，设t=2^x，转化为关于t二次函数的值域问题求解即可，必须注意新变量t的取值范围．
（Ⅱ）欲求实数a的取值范围，先分离出参数a，根据4^x-2^x+1的最小值不大于-a即可，从而解决问题．

解答：解：（Ⅰ）设t=2^x则t＞0
∴y=4^x-2^x+1=2^2x-2•2^x=t²-2t=（t-1）²-1
∵t＞0，∴y∈[-1，+∞]
∴函数的值域为[-1，+∞]（8分）
（Ⅱ）方程4^x-2^x+1+a=0即4^x-2^x+1=-a
若此方程有解，只需-a≥-1即a≤1．（12分）

点评：本题以指数函数为载体考查二次函数的值域，属于求二次函数的最值问题，属于基本题．