Question

已知函数f（x）=x⁴+ax²+b的图象在点（1，f（1））处与直线y=-4x+2相切．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
（Ⅲ）求函数f（x）在区间[-m，m]（m＞0）上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把x=1代入切线方程求出f（1）=-2，然后把（1，-2）代入到f（x）中得到关于a与b的一个关系式；求出f'（x），根据切线方程得到斜率为-4，所以f'（1）=-4，代入导函数即可得到关于a的方程，求出a的值，代入到前面求的关系式中求出b即可；
（Ⅱ）把第一问求得的a与b代入到f（x）中，然后求出f'（x）=0时x的值，利用x的三个值分四个区间讨论导函数的正负即可得到函数的单调区间；
（Ⅲ）根据第二问函数的增减性分区间分别求出函数的最大值和最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）f（1）=-4×1+2=-2?1+a+b-2?a+b=-3，
f'（x）=4x³+2ax，f'（1）=-4?2a+4=-4
∴a=-4，b=1．
（Ⅱ）f（x）=x⁴-4x²+1?f'（x）=4x³-8x=4x（x²-2），f'（x）=0的根为0，±

2

．
在（-∞，-

2

）上，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；在（-

2

，0）上，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
在（0，

2

）上，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；在（

2

，+∞）上，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
故函数f（x）的单调递增区间为（-

2

，0）、（

2

+∞）；单调递减区间为（-∞，-

2

）、（0，

2

）．
（Ⅲ）f（-

2

）=f（

2

）=-3，f（0）=1，由f（x）=x⁴-4x²+1=1得，x=0，x=±2，
∴当0＜m＜

2

时，f（x）在[-m，m]上的最大值是1，最小值是f（m）=m⁴-4m²+1；
当

2

≤m≤2时，f（x）在[-m，m]上的最大值是1，最小值是f（

2

）=-3．
当m＞2时，f（x）在[-m，m]上的最大值是f（m）=m⁴-4m²+1，最小值是f（

2

）=-3．

点评：考查学生会利用导数研究曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调性以及利用函数的增减性求闭区间上函数的最值．