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已知等比数列
中有
，数列
是等差数列，且
，则
（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
试题答案
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【答案】
C
【解析】略
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已知数列a
n
中，a
1
=1，a
2
=a-1（a≠1，a为实常数），前n项和S
n
恒为正值，且当n≥2时，
1
S
n
=
1
a
n
-
1
a
n+1
．
（1）求证：数列S
n
是等比数列；
（2）设a
n
与a
n+2
的等差中项为A，比较A与a
n+1
的大小；
（3）设m是给定的正整数，a=2．现按如下方法构造项数为2m有穷数列b
n
：当k=m+1，m+2，…，2m时，b
k
=a
k
•a
k+1
；当k=1，2，…，m时，b
k
=b
2m-k+1
．求数列{b
n
}的前n项和为T
n
（n≤2m，n∈N
*
）．
已知函数
f(x)=
x
2
x+m
的图象经过点（4，8）．
（1）求该函数的解析式；
（2）数列{a
n
}中，若a
1
=1，S
n
为数列{a
n
}的前n项和，且满足a
n
=f（S
n
）（n≥2），
证明数列
{
1
S
n
}
成等差数列，并求数列{a
n
}的通项公式；
（3）另有一新数列{b
n
}，若将数列{b
n
}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：记表中的第一列数b
1
，b
2
，b
4
，b
7
，…，构成的数列即为数列{a
n
}，上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当
b
81
=-
4
91
时，求上表中第k（k≥3）行所有项的和．
将数列{a
n
} 中的所有项按第一排三项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如数表：记表中的第一列数a
1
，a
4
，a
8
，…构成的数列为{b
n
}，已知：
①在数列{b
n
} 中，b
1
=1，对于任何n∈N
*
，都有（n+1）b
n+1
-nb
n
=0；
②表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为q（q＞0）的等比数列；
③
a
66
=
2
5
．请解答以下问题：
（1）求数列{b
n
} 的通项公式；
（2）求上表中第k（k∈N
*
）行所有项的和S（k）；
（3）若关于x的不等式
S(k)+
1
k
＞
1-
x
2
x
在
x∈[
1
1000
，
1
100
]
上有解，求正整数k的取值范围．
将数列{a
n
}中的所有项按第一排三项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：记表中的第一列数a
1
，a
4
，a
8
，…构成的数列为{b
n
}，已知：
①在数列{b
n
}中，b
1
=1，对于任何n∈N
*
，都有（n+1）b
n+1
-nb
n
=0；
②表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为q（q＞0）的等比数列；
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
a
9
a
10
a
11
a
12
…
③
a
66
=
2
5
．请解答以下问题：
（Ⅰ）求数列{b
n
}的通项公式；
（Ⅱ）求上表中第k（k∈N
*
）行所有项的和S（k）；
（Ⅲ）若关于x的不等式
S(k)+
1
k
＞
1-
x
2
x
在
x∈[
1
200
，
1
20
]
上有解，求正整数k的取值范围．
如果存在常数a使得数列{a
n
}满足：若x是数列{a
n
}中的一项，则a-x也是数列{a
n
}中的一项，称数列{a
n
}为“兑换数列”，常数a是它的“兑换系数”．
（1）若数列：1，2，4，m（m＞4）是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求m和a的值；
（2）已知有穷等差数列b
n
的项数是n
0
（n
0
≥3），所有项之和是B，求证：数列b
n
是“兑换数列”，并用n
0
和B表示它的“兑换系数”；
（3）对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列{c
n
}，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论并说明理由．
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中有
，数列
是等差数列，且
，则
（ ）
中有，数列是等差数列，且，则（ ）
已知函数
将数列{an} 中的所有项按第一排三项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如数表：记表中的第一列数a1，a4，a8，…构成的数列为{bn}，已知：