题目内容

【题目】已知函数f(x)=x2﹣2mx+m2+4m﹣2.
(1)若函数f(x)在区间[0,1]上是单调递减函数,求实数m的取值范围;
(2)若函数f(x)在区间[0,1]上有最小值﹣3,求实数m的值.

【答案】解:f(x)=(x﹣m)2+4m﹣2.
(1)由f(x)在区间[0,1]上是单调递减函数,得m≥1.
故实数m的取值范围是[1,+∞).
(2)①当m<0时,f(x)在区间[0,1]上单调递增,f(x)min=f(0)=m2+4m﹣2=﹣3.
解得m=﹣2﹣,或m=﹣2+
②当0≤m≤1时,f(x)min=f(m)=4m﹣2=﹣3,解得m=﹣(舍);
③当m>1时,f(x)在[0,1]上单调递减,f(x)min=f(1)=m2+2m﹣1=﹣3.无解;
综上,实数m的值是﹣2±
【解析】(1)由函数f(x)在区间[0,1]上是单调递减函数,知[0,1]为函数f(x)减区间的子集,由此可得m的取值范围;
(2)对m分类讨论,求出f(x)在区间[0,1]上的最小值,使其等于﹣3,解出即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数在闭区间上的最值的相关知识,掌握当时,当时,;当时在上递减,当时,

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