Question

已知的图象过点，且函数的图象关于轴对称；
(1)求的值及函数的单调区间；
(2)求函数极值.

Answer 1

(1) a=－3,b="0." (2) f(x)（－∞，0），（2，＋∞）上是增加的；f(x)在（0，2）上是减少的.

解析试题分析：（1）由函数f(x)图象过点（－1，－6），得,①
由，得=3x²＋2ax＋b,  （2分）
则=3x²+(2a+6)x+b;
而g(x)图象关于y轴对称，所以－＝0，所以a=－3,  （3分）
代入①得b=0.  于是f′(x)＝3x²－6x=3x(x－2). （5分）
由f′(x)>0得x>2或x<0,
故f(x)（－∞，0），（2，＋∞）上是增加的；（7分）
由f′(x)<0得0<x<2, 故f(x)在（0，2）上是减少的. （7分）
(2)由（1）得f′(x)＝3x(x－2),
令f′(x)＝0得x=0或x=2.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表： （正确列出下表得3分）

x	(－∞.0)	0	(0,2)	2	(2,+ ∞)
f′(x)	+	0	－	0	＋
f(x)		极大值		极小值

由此可得：有极大值f(0)=-2,有极小值f(2)＝－6，（12分）
考点：函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值。
点评：极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点。在大题中，我们一定要注意求函数极值的步骤。属于典型题型。