Question

8．已知f（x）=log_a$\frac{1+mx}{1-x}$（a＞0，a≠1）是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）求不等式f（x）＞0的解集；
（3）当a=2时，判断单调性并证明．

Answer 1

分析 （1）直接利用奇函数的定义，化简即可求m的值
（2）利用log_a$\frac{1+x}{1-x}$＞0，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1+x}{1-x}＞0}\\{\frac{1+x}{1-x}＞1}\end{array}\right.$即可
（3）构造u=$\frac{1+x}{1-x}$=$\frac{2}{1-x}$-1，判断单调性，再利用复合函数单调性证明即可．

解答 解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），即-log_a$\frac{1+mx}{1-x}$=log_a$\frac{1-mx}{1+x}$
得m=1
（2）f（x）=log_a$\frac{1+x}{1-x}$
∴log_a$\frac{1+x}{1-x}$＞0
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1+x}{1-x}＞0}\\{\frac{1+x}{1-x}＞1}\end{array}\right.$即0＜x＜1
故不等式f（x）＞0的解集；：{x|0＜x＜1}
（3）a=2，f（x）=log₂$\frac{1+x}{1-x}$，定义域为（-1，1）单调递增
∵u=$\frac{1+x}{1-x}$=$\frac{2}{1-x}$-1，设任意两个实数x₁，x₂，-1＜x₁＜x₂＜1
u（x₂）=$\frac{2}{1-{x}_{2}}$-1，u（x₁）=$\frac{2}{1-{x}_{1}}$-1
∴u（x₂）-u（x₁）=$\frac{2}{1-{x}_{1}}$-1-$\frac{2}{1-{x}_{2}}$+1=$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（1-{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}$
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，1-x₁＞0，1-x₂＞0
∴u（x₂）-u（x₁）＜0
u（x₂）＜u（x₁）
即log₂u（x₂）＜log₂u（x₁）
即（-1，1）单调递增

点评 本题综合考察了函数的定义，单调性的定义，运用解析式判断证明，关键是恒等变形能力，属于中档题．