Question

给出以下命题：
①过点P（2，3），且与圆（x-1）²+（y-1）²=1相切的直线方程为3x-4y+6=0；
②双曲线

y2

49

-

x2

25

=-1的渐近线方程为y=±

7

5

x；
③不等式

1-2x

(x-1)(x+3)

≤0的解集为{x|x＜-3或

1

2

≤x＜1}；
④已知点A（4，-2），抛物线y²=8x的焦点为F，点M在抛物线上移动，则|MA|+|MF|的最小值为6．
其中正确命题的序号是

②④

．

Answer 1

分析：根据点P在圆（x-1）²+（y-1）²=1的外部，可得切线有两条，故①不正确；根据双曲线的渐近线的定义与求法，可得②正确；根据分式不等式与高次不等式的解法，可得③的解集不正确；根据抛物线的定义，可证出M在抛物线y²=8x上移动，则|MA|+|MF|的最小值为6，得到④正确．由此可得本题答案．

解答：解：对于①，过点P（2，3），且与圆（x-1）²+（y-1）²=1相切的直线方程
除了3x-4y+6=0外，还有一条斜率不存在的直线x=2，故①不正确；
对于②，令

y2

49

-

x2

25

=0，得y=±

7

5

x，可得双曲线

y2

49

-

x2

25

=-1的渐近线方程为y=±

7

5

x，②正确；
对于③，不等式

1-2x

(x-1)(x+3)

≤0即

2x-1

(x-1)(x+3)

≥0
解之此不等式，可得它的解集为{x|x＞1或-3＜x≤

1

2

}，故③不正确；
对于④，由于抛物线y²=8x的准线为x=-2，设M在准线上的射影点为N
所以点M在抛物线上移动，|MA|+|MF|=|MA|+|MN|≥|AN|=4-（-2）=6
由此可得|MA|+|MF|的最小值为6，得④正确
故答案为：②④

点评：本题给出几个命题，要求找出其中的真命题．着重考查了直线与圆的位置关系、不等式的解法和圆锥曲线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．