Question

已知函数.
(1)若的定义域和值域均是，求实数的值；
(2)若在区间上是减函数，且对任意的，，总有，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）的取值范围是.

解析试题分析：（1）根据条件，可知为二次函数，其对称轴为，因此在上是减函数，故根据条件的定义域和值域均是，可列出关于的方程组，将具体的表达式代入，即可求得；（2）首先根据条件可知，再由问题的描述，可将问题等价转化为求使对任意的，，总有成立的的取值范围，又由条件，二次函数的对称轴，且左右端点对于对称轴的偏离距离，故有，，因此可以建立关于的不等式，从而求得的取值范围是.
试题解析：（1）∵,∴在上是减函数    2分，
又定义域和值域均为，∴，     4分
即，解得.      5分；
（2）∵在区间上是减函数，∴，     7分
又，且，
∴，.     10分
∵对任意的，，总有，
∴,     12分
即 ,解得 ，
又∵，∴，的取值范围是.
考点：1.二次函数的值域；2.二次函数与恒成立问题.