Question

给出以下命题：
（1）函数y=f（x）的图象与直线x=2最多有一个交点；
（2）当sinx≠0时，函数y=sin2x+

4

sin2x

的最小值是4；
（3）函数y=

1

2x-1

-m是奇函数的充要条件是m=

1

2

；
（4）满足f(

1

2

-x)=f(

3

2

+x)和f（x-1）=-f（x）的函数f（x）一定是偶函数；
则其中正确命题的序号是

（1）（4）

．

Answer 1

分析：（1）由函数的概念可判断（1）正确；
（2）由基本不等式可判断（2）的正误；
（3）令f（x）=

1

2x-1

-m，由f（x）+f（-x）=0可求得m，从而可判断其正误；
（4）利用函数的周期性与对称性可判断（4）的正误．

解答：解：（1）由函数的概念可知，自变量与相应的函数值是一一对应的，故（1）正确；
（2）由基本不等式“一正，二定，三等”可知sin²x≠

4

sin2x

，故（2）错误；
（3）令f（x）=

1

2x-1

-m，由f（x）+f（-x）=0可得：

1

2x-1

+

2x

1-2x

-2m=0，
∴m=-

1

2

，
∴（3）错误；
（4）∵f（x-1）=-f（x），
∴f（x-2）=-f（x-1）=f（x），即f（x）是以2为周期的函数；
又f(

1

2

-x)=f(

3

2

+x)，令

1

2

-x=t，则

3

2

+x=2-t，
∴f（t）=f（2-t），
∴f（x）关于x=1对称；
∴f（x）=f（2-x）=f（-x），
∴f（x）是偶函数，故（4）正确．
综上所述，其中正确命题的序号是（1）（4）

点评：本题考查基本不等式，考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查函数的性质应用，属于综合题，是难题．