Question

给出以下命题：
（1）?x∈R，使得sinx+cosx＞1；
（2）函数f(x)=

sinx

x

在区间(0，

π

2

)上是单调减函数；
（3）“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；
（4）在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的必要不充分条件．
其中是真命题的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：（1）令x=

π

4

，举出正例可证明一个存在性命题为真
（2）求出函数的导函数，分析导函数在指定区间上的符号，进而分析出其单调性
（3）分别判断“x＞1”⇒“|x|＞1”和“|x|＞1”⇒“x＞1”的真假，进而根据充要条件的定义可以判断
（4）根据正弦定理及三角形大边对大角，可判断△ABC中，“A＞B”与“sinA＞sinB”的充要关系

解答：解：当x=

π

4

时，sinx+cosx=

2

＞1，故（1）?x∈R，使得sinx+cosx＞1正确；
∵f(x)=

sinx

x

，∴f′(x)=

x•cosx-sinx

x2

=

x-tanx

cosx•x2

，
当x∈(0，

π

2

)时，∵cosx＞0，x-tanx＜0，x²＞0，
∴f'（x）＜0，故f（x）在区间(0，

π

2

)上单调递减，故（2）正确．
当“x＞1”时是“|x|＞1”成立，但“|x|＞1”时，“x＞1或x＜-1”，故“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；
在△ABC中，“A＞B”?“a＞b”?“sinA•2R＞sinB•2R”（其中R为三角形外接圆半径）?“sinA＞sinB”，故A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件，故（4）错误
故选C

点评：本题考查的知识点是特称命题，命题的真假判断，函数的单调性，充要条件，其中熟练掌握上述基本知识点是解答的关键．