Question

给出以下命题：
（1）若

∫

b a

f(x)dx＞0，则f（x）＞0；  
（2）

∫

2π 0

|sinx|dx=4；
（3）应用微积分基本定理，有

∫

2 1

1

x

dx=F(2)-F(1)，则F（x）=lnx；
（4）f（x）的原函数为F（x），且F（x）是以T为周期的函数，则

∫

a 0

f(x)dx=

∫

a+T T

f(x)dx；
其中正确命题的个数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：（1）根据微积分基本定理，得出）∫_b^af（x）dx=F（b）-F（a）＞0，可以看到与f（x）正负无关．
（2）注意到sinx在[0，2π]的取值符号不同，根据微积分基本运算性质，化为∫₀^πsinxdx+∫_π^2π（-sinx）dx求解，判断．
（3）根据函数导数运算性质，应有  F（x）=lnx+c  （c为常数）．
（4）根据微积分基本定理，两边分别求解，再结合F（a+T）=F（a），F（T）=F（0）判定．

解答：解：（1）由∫_b^af（x）dx=F（b）-F（a）＞0，得F（b）＞F（a），未必f（x）＞0．（1）错误．
（2）∫₀^2π|sinx|dx=∫₀^π|sinx|dx+∫_π^2π|sinx|dx=∫₀^πsinxdx+∫_π^2π（-sinx）dx=（-cosx）|_0^π+cosx|π^2π=1-（-1）+1-（-1）=4．（2）正确．
（3）根据函数导数运算性质，若F′（x）=

1

x

，应有  F（x）=lnx+c  （c为常数），（3）错误．
（4）∫₀^af（x）dx=F（a）-F（0），∫_T^a+Tf（x）dx=F（a+T）-F（T）=F（a）-F（0），即

∫

a 0

f(x)dx=

∫

a+T T

f(x)dx；（4）正确．
正确命题的个数为2，
故选B．

点评：本题考查微积分基本定理，微积分基本运算性质．属于基础题型．