题目内容
【题目】已知函数,有下列四个命题:
①函数是奇函数;
②函数在
是单调函数;
③当时,函数
恒成立;
④当时,函数
有一个零点,
其中正确的是____________
【答案】③④
【解析】
①根据与
的关系即可判断;②当
时,
,对
求导可得
,设
,显然
连续,利用零点存在性定理可得存在
,使得
,即可判断
时
的单调性,进而判断②;由②可知当
时,
为
的最小值,判断
是否成立即可判断③;利用零点存在性定理即可判断④.
由题,的定义域为
,
①,且
,所以
不是奇函数,故①错误;
②,当
时,
,
则,
令,则
,
,
所以存在,使得
,
所以当时,
,
是单调减函数;
当时,
,
是单调增函数,
所以②错误;
③由②可知,当时,
在
上有最小值,且
,
所以,
因为,
由,则
,即
,
所以,
所以当时,
恒成立,故③正确;
④当时,
,且
,
,
所以在
内有一个零点,故④正确.
故答案为:③④
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