Question

【题目】设函数f（x）= x2+ax﹣lnx（a∈R）． （Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对任意a∈（3，4）及任意x1 ， x2∈[1，2]，恒有 m+ln2＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞） 当a=1时，f（x）=x﹣lnx，则f′（x）=
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1，∵x＞0，∴x＞1；
令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1；
∴x=1时，函数f（x）取得极小值为1；
（Ⅱ）f′（x）=
当 ，即a=2时， ，f（x）在（0，+∞）上是减函数；
当 ，即a＞2时，令f′（x）＜0，得 或x＞1；令f′（x）＞0，得
当 ，即1＜a＜2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或x＞ ；令f′（x）＞0，得
综上，当a=2时，f（x）在定义域上是减函数；
当a＞2时，f（x）在（0， ）和（1，+∞）上单调递减，在（ ，1）上单调递增；
当1＜a＜2时，f（x）在（0，1）和（ ，+∞）上单调递减，在（1， ）上单调递增；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a∈（3，4）时，f（x）在[1，2]上单调递减
∴当x=1时，f（x）有最大值，当x=2时，f（x）有最小值
∴
∴对任意a∈（3，4），恒有
∴m＞
构造函数 ，则
∵a∈（3，4），∴
∴函数 在（3，4）上单调增
∴g（a）∈（0， ）
∴m≥ ．
【解析】（Ⅰ）确定函数的定义域，利用导数的正负，确定函数的单调性，从而可求函数的极值；（Ⅱ）求导函数f′（x）= ，分类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性； （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a∈（3，4）时，f（x）在[1，2]上单调递减，从而可得 对任意a∈（3，4），恒有 ，等价于m＞ ，求出右边函数的值域，即可求得结论．