题目内容
已知椭圆C:

(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M、N,且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列,求△OMN面积的取值范围.
【答案】分析:(1)由题意可得2a=2×2b,
,再由c2=a2-b2可解得a,b;
(2)设直线l的方程为:y=kx+m(k≠0,m≠0),代入椭圆方程消掉y得x的二次方程,设M(x1,y1)、N(x2,y2),由直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列,得
,变形后代入韦达定理可求出k值,由△>0 得m的范围,利用三角形面积公式表示出面积,根据m的范围可得答案;
解答:解析:(1)由已知得
解得
,
所以椭圆C的方程:
;
(2)由题意可设直线l的方程为:y=kx+m(k≠0,m≠0),
联立
消去y并整理,得:(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,
则△=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)>0,
此时设M(x1,y1)、N(x2,y2),则
,
,
于是y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=
,
又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列,
∴
=k2⇒-
=0,
由m≠0得:
⇒k=
.
又由△>0 得:0<m2<2,显然m2≠1(否则:x1x2=0,则x1,x2中至少有一个为0,直线OM、ON中至少有一个斜率不存在,矛盾!)
设原点O到直线l的距离为d,则
×
=
|m|
=
,
故由m得取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0,1).
点评:本题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系,考查三角形的面积公式,考查学生分析解决问题的能力.

(2)设直线l的方程为:y=kx+m(k≠0,m≠0),代入椭圆方程消掉y得x的二次方程,设M(x1,y1)、N(x2,y2),由直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列,得

解答:解析:(1)由已知得


所以椭圆C的方程:

(2)由题意可设直线l的方程为:y=kx+m(k≠0,m≠0),
联立

则△=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)>0,
此时设M(x1,y1)、N(x2,y2),则


于是y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=

又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列,
∴


由m≠0得:


又由△>0 得:0<m2<2,显然m2≠1(否则:x1x2=0,则x1,x2中至少有一个为0,直线OM、ON中至少有一个斜率不存在,矛盾!)
设原点O到直线l的距离为d,则





故由m得取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0,1).
点评:本题考查直线方程、椭圆方程及其位置关系,考查三角形的面积公式,考查学生分析解决问题的能力.

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