题目内容

已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，D是底面三角形内一点，且∠DPA=45°，∠DPB=60°，则∠DPC=______．
过点D作平面垂直于PA，交PA于A点，交平面PAC于AE，交平面PAB于AM
过点D作平面垂直于PB，交PB于B点，交平面PBC于BF，交平面PAB于BM
过点D作平面垂直于PC，交PC于C点，交平面PAC于EC，交平面PBC于FC
则六面体APBM-ECFD是一个长方体
设PA=1，∵∠DPA=45°，∴PD=
2

∵∠DPB=60°∴PB=
2
2
，∴PM=
12+(
2
2
)2
=
6
2

在直角三角形PCD中，CD=PM=
6
2
，PD=
2

∴sin∠DPC=
3
2

∴∠DPC=60°
故答案为60°
练习册系列答案
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已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两相互垂直，且PA=2
3
，PB=3，PC=2外接球的直径等于
 
．
已知三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．
（Ⅰ）求证：AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）若AE：EP=1：2，求截面BEF分三棱锥P-ABC所成上、下两部分的体积比．
如图，已知三棱锥P-ABC，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D为AB中点，M为PB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC．
（I）求证：DM∥平面PAC；
（II）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅲ）求三棱锥M-BCD的体积．
（2009•河西区二模）如图，已知三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，其中正视图为Rt△PAC，AC=2
6
，PA=4，俯视图也为直角三角形，另一直角边长为2
2
．
（Ⅰ）画出侧视图并求侧视图的面积；
（Ⅱ）证明面PAC⊥面PAB；
（Ⅲ）求直线PC与底面ABC所成角的余弦值．
（2009•黄浦区二模）已知三棱锥P-ABC的棱长都是2，点D是棱AP上不同于P的点．
（1）试用反证法证明直线BD与直线CP是异面直线．
（2）求三棱锥P-ABC的体积VP-ABC．

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