题目内容
4.定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时f(x)>1且对任意的a,b∈R,f(a+b)=f(a)f(b).(1)证明:f(0)=1;
(2)证明:对任意x∈R,恒有f(x)>0;
(3)证明:f(x)在R上单调递增;
(4)若f(x)•f(2x-3)>1,求x的取值范围.
分析 (1)令a=b=0,从而求f(0);
(2)不妨设a>0,b=-a<0,从而证明;
(3)由(2)知,f(-a)=$\frac{1}{f(a)}$,任取x<y,则f(y-x)=f(y)f(-x)=f(y)$\frac{1}{f(x)}$,从而证明;
(4)化简f(x)•f(2x-3)>1为f(x(2x-3))>f(0),从而利用单调性求解.
解答 解:(1)证明:令a=b=0,则f(0)=f(0)f(0),
又∵f(0)≠0,∴f(0)=1;
(2)证明:不妨设a>0,b=-a<0,
则f(0)=f(a)f(b),
即f(b)=$\frac{1}{f(a)}$>0;
故对任意x∈R,恒有f(x)>0;
(3)证明:由(2)知,f(-a)=$\frac{1}{f(a)}$,
任取x<y,则
f(y-x)=f(y)f(-x)=f(y)$\frac{1}{f(x)}$,
∵y-x>0,∴f(y-x)>1,
∴f(y)$\frac{1}{f(x)}$>1,
∴f(y)>f(x),
∴f(x)在R上单调递增;
(4)∵f(x)•f(2x-3)>1,
∴f(x(2x-3))>f(0),
又∵f(x)在R上单调递增,
∴x(2x-3)>0,
∴x>$\frac{3}{2}$或x<0.
点评 本题考查了抽象函数的性质的判断与应用,同时考查了函数的单调性在解不等式中的应用.
练习册系列答案
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9.下列函数中,满足关系f(x+y)=f(x)+f(y)的是( )
A. | f(x)=x2 | B. | f(x)=x+$\frac{1}{4}$ | C. | f(x)=2x | D. | f(x)=$\frac{1}{x}$ |