题目内容
对于在区间[p,q]上有意义的两个函数f(x),g(x),若对于所有的x∈[p,q],都有|f(x)-g(x)|≤1,则称f(x)和g(x)在区间[p,q]上是接近的两个函数,否则称它们在区间[p,q]上是非接近的两个函数.现在给定区间D=[a+2,a+3],有两个函数f(x)=loga(x-3a),g(x)=loga
,其中a>0且a≠1.
(1)若f(x)和g(x)在区间D上都有意义,求a的取值范围;
(2)讨论f(x)和g(x)在区间D上是否为接近的两个函数.
1 | x-a |
(1)若f(x)和g(x)在区间D上都有意义,求a的取值范围;
(2)讨论f(x)和g(x)在区间D上是否为接近的两个函数.
分析:(1)由f(x)和g(x)在区间D上都有意义,即
且a+2>3a,求得a的取值范围;
(2)在(1)的条件下,求出|f(x)-g(x)|≤1时a的取值范围,得到f(x)和g(x)在区间D上是接近的两个函数;否则,是非接近的两个函数.
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(2)在(1)的条件下,求出|f(x)-g(x)|≤1时a的取值范围,得到f(x)和g(x)在区间D上是接近的两个函数;否则,是非接近的两个函数.
解答:解:(1)∵函数f(x)=loga(x-3a),g(x)=loga
,其中a>0且a≠1,
∴
,即x>3a;
又区间D=[a+2,a+3],
∴a+2>3a,
∴0<a<1;
∴a的取值范围是{a|0<a<1};
(2)∵|f(x)-g(x)|=|loga(x-3a)-loga
|=|loga(x2-4ax+3a2)|=|loga[(x-2a)2-a2]|,
当x∈D时,(x-2a)2-a2∈[4-4a,9-6a],
令h(x)=loga(x2-4ax+3a2),
则h(x)min=h(a+3)=loga(9-6a),h(x)max=h(a+2)=loga(4-4a),
要使得|f(x)-g(x)|≤1,
则
,解得0<a≤
,
∴当a∈(0,
]时,f(x)和g(x)在区间D上是接近的两个函数;
当a∈(
,1)时,f(x)和g(x)在区间D上是非接近的两个函数.
1 |
x-a |
∴
|
又区间D=[a+2,a+3],
∴a+2>3a,
∴0<a<1;
∴a的取值范围是{a|0<a<1};
(2)∵|f(x)-g(x)|=|loga(x-3a)-loga
1 |
x-a |
当x∈D时,(x-2a)2-a2∈[4-4a,9-6a],
令h(x)=loga(x2-4ax+3a2),
则h(x)min=h(a+3)=loga(9-6a),h(x)max=h(a+2)=loga(4-4a),
要使得|f(x)-g(x)|≤1,
则
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9-
| ||
12 |
∴当a∈(0,
9-
| ||
12 |
当a∈(
9-
| ||
12 |
点评:本题考查了新定义下的函数的定义域、值域问题,以及函数与不等式的综合应用问题,是易错题.
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