题目内容

已知函数f(x)=lnx-ax.
(Ⅰ)求函数f(x)的极值,
(Ⅱ)已知过点P(1,f(1)),Q(e,f(e))的直线为l,则必存在x0∈(1,e),使曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与直线l平行,求x0的值,
(Ⅲ)已知函数g(x)图象在[0,1]上连续不断,且函数g(x)的导函数g'(x)在区间(0,1)内单调递减,若g(1)=0,试用上述结论证明:对于任意x∈(0,1),恒有g(x)>g(0)(1-x)成立.
分析:(I)由题意先对函数f(x)=lnx-ax求其导函数,并利用导函数分析单调性并求其极值;
(II)利用已知直线上两点写出其斜率的式子,再利用导数的几何含义写出直线的斜率,进而建立方程求解即可;
(III)利用(II)的结论实质,依照题意即可求证结论.
解答:解:(Ⅰ)f'(x)=
1
x
-a=
1-ax
x
(x>0)
①若a≤0,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,此时f(x)不存在极值.
②若a>0令f'(x)=0得x=
1
a

当x∈(0,
1
a
)
时,f(x)>0,此时函数f(x)在此区间上单调递增;
当x∈(
1
a
,+∞)
时,f(x)<0,此时函数f(x)在此区间上单调递减;
∴f(x)极大值=f(
1
a
)=-lna-1

综上:当a≤0时,f(x)没有极大值,当a>0时,f(x)极大值=-lna-1.
(Ⅱ)直线l的斜率k=
f(e)-f(1)
e-1
=-a+
1
e-1

∵x0∈(1,e),
依题意有f'(x0)=-a+
1
e-1
1
x0
-a=-a+
1
e-1

得x0=e-1∈(1,e),
故x0=e-1
(Ⅲ)①f'(x0)=
f(b)-f(a)
b-a
(
f(a)-f(b)
a-b
)

由以上结论得:对区间[0,x]存在x1∈[0,x]使g'(x1)=
g(x)-g(0)
x-0

同样对区间[x,1]存在x2∈[x,1]使g'(x2)=
g(1)-g(x)
1-x
=
-g(x)
1-x

依题意得:g'(x1)>g'(x2)即
g(x)-g(0)
x-0
-g(x)
1-x

化简得g(x)>g(0)(1-x)成立.
点评:(I)此问重点考查了利用函数的导函数求解极值,并在判断函数单调性时考查了解不等式时的分类讨论的思想;
(II)此问重点考查了直线的斜率公式及利用导数的几何意义,进而建立斜率的方程;
(III))此问重点考查了对于(II)的结论的理解与应用.
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